Question

如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．
（1）求证：CF=2DH；
（2）若AB=BC，cos∠BCA=

3

5

，DE=4，求HD的长．

Answer 1

（1）证明：取AF的中点M，连接MD，
∵AD=DC，
∴CF=2MD，且MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH，
又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，
∴∠BHG=∠BFH，
而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，
∴∠DMH=∠DHM，
∴DH=DM．而CF=2MD，
∴CF=2DH；

（2）过E作EN⊥BC于N，
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，
∴EN=DE=4，
在Rt△CEN中，cos∠BCA=

CN

CE

=

3

5

，
∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4．
∴k=1，CE=5，CD=9，
在Rt△BCD中，cos∠BCA=

CD

BC

=

3

5

，
∴BC=15，BD=12，
又∵∠BHG=∠BFH，
∴BH=BF，
设DH=x，则FC=2x，BH=12-x，BF=15-2x．
由12-x=15-2x，得x=3，
∴HD=3．