Question

13．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N．
（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD旋转的度数；
（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据DA所扫过的区域为扇形进行计算即可；
（2）先根据平行线及正方形的性质得出BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，故可得出BM=BN，根据SAS判定△DAM≌△DCN，可得出∠ADM=∠CDN，由此可得到旋转的度数；
（3）延长BA交DE于H点，由ASA判定△DAH≌△DCN，得出DH=DN，AH=CN，再由SAS判定△DMH≌△DMN，可得出MN=MH=AM+AH，MN=AM+CN，将△MBN的周长转化为AB+BC即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ADB=45°，AD=2，
∴边DA在旋转过程中所扫过的面积=$\frac{45×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$；

（2））∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
在△DAM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAM=∠DCN}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCN（SAS），
∴∠ADM=∠CDN，
∴∠CDN=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°，
即正方形ABCD旋转的度数为22.5°；

（3）不变化．
证明：如图，延长BA交DE于H点，
∵∠ADE+∠ADN=90°，∠CDN+∠ADN=90°，
∴∠ADE=∠CDN．
在△DAH与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠CDN}\\{AD=CD}\\{∠DAH=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△DAH≌△DCN（ASA），
∴DH=DN，AH=CN．
在△DMH与△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=DN}\\{∠MDE=∠MDN}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△DMH≌△DMN（SAS），
∴MN=MH=AM+AH，
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4，
∴在旋转正方形ABCD的过程中，p值无变化．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及旋转变换的性质，需要综合运用扇形的面积公式和全等三角形的判定与性质，难度较大．熟知图形在旋转的过程中其大小、形状不变是解题的关键．