Question

16．如图，直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与双曲线y=$\frac{n}{x}$（b＞0，x＞0）相交于C、D，分别与x轴、y轴相交于B、A，猜想：AC与DB的数量关系为AC=BD，并加以证明．

Answer 1

分析 结论：AC=BD．求出A、B、C、D的坐标，利用两点之间的距离公式计算即可证明．

解答 解：由题意A（0，b），B（-$\frac{b}{k}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{n}{x}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得kx²+bx-n=0，
∴x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2k}$，
∴C（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2k}$，$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2}$），D（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2k}$，$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2}$）．
∴AC=$\sqrt{（\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2k}）^{2}+（\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2}）^{2}}$，BD=$\sqrt{（\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2k}）^{2}+（\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4kn}}{2}）^{2}}$，
∴AC=BD．
故答案为AC=BD．

点评 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，两点之间的距离公式，方程组等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．