Question

如图，已知AB为O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交O于点F，连结CF、DE．求证：

(1)AE²＝AD·AB；

(2)∠ACF＝∠AED．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)连结BC，因为在O中AB是直径， 　　∴∠ACB＝ 　　又CD⊥AB于D 　　∴△ACD∽△ABC 　　∴ 　　则AC2＝AD·AB 　　又AC＝AE 　　∴AE2＝AD·AB. 　　(2)∵AE2＝AD·AB 　　∴ 　　又∠EAD＝∠BAE 　　∴△EAD∽△BAE 　　∴∠AED＝∠ABE 　　又∵∠ABE＝∠ACF 　　∴∠AED＝∠ACP. 　　评析：遇到直径，一般可考虑作出直径所对的圆周角．得到直角三角形，这是一种常用方法．

提示：

思路与技巧：连结BC，由AB是O的直径可得∠ACB＝．又CD⊥AB于D，可找出与AC有关的比例线段AC2＝AD·AB，从而代换可得结论．紧扣第一题的结论可得△AED与△ABE相似，则有∠AED＝∠ABE．将圆周角∠ABE转化为∠ACF即可．