Question

如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由．
（2）如果∠ABC=∠CBD，求证：FD²=FG•FB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠BAD=∠CAE，易得∠BAC=∠DAE，又由在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，利用SAS即可证得：△ABC≌△ADE，得出BC=DE．
（2）由△ABC≌△ADE，可得∠ABC=∠ADE，证得△FDG∽△FBD，得出结论．

解答：（1）解：BC=DE，
理由：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE．
在△CAB和△EAD中，

AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE

，
∴△CAB≌△EAD（SAS），
∴BC=DE．
（2）证明：∵△BAC≌△DAE
∴∠ABC=∠ADE，
又∵∠ABC=∠CBD，
∴∠CBD=∠ADE
又∵∠GFD=∠GFD，
∴△FGD∽△FDB，
∴

FD

FB

=

FG

FD

，
∴FD²=FG•FB．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．