Question

二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于B、C两点，点D是线段BC的中点，在x轴上方的A点为抛物线上的动点，连接AD，设AD=m，当∠BAC为锐角时，m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意已知二次函数的解析式为y=-x²+2x+3，令y=0，得方程-x²+2x+3=0，解出B，C两点的坐标及D点的坐标，A点在x轴上方的A点为抛物线上的动点，先假设∠BAC=90，解出AD此时AD的长最小，当A点在抛物线顶点时，此时AD的长度最大，从而求出m的范围．

解答：解：∵二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于B、C两点，
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（-1，0），C（3，0），
∵点D是线段BC的中点，
∴D（1，0），
已知点A是x轴上方的抛物线上的动点，
假设∠BAC=90度，
在Rt△ABC中AD为斜边的中线，
∴AD=

1

2

BC=2，
此时A点再向上运动其角逐渐减小，
在顶点处，AD取最大值，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴AD的最大值为4，
∴2＜m≤4，
故答案为2＜m≤4．

点评：此题考查二次函数的性质及函数的特殊点坐标，主要研究函数上的动点问题，把锐角与函数联系起来，解题的关键是找到临界的条件，此题直角为一个临界条件，函数的顶点为另一个边界点．