定义:两个三角形有两组对应边和一对对应角分别对应相等的两个三角形称为兄弟三角形．显然.兄弟三角形不一定是全等三角形(这里可能是边角边.也可能是边边角)①如图1.△ABC中.CA=CB.D是AB上任意一点.则△ACD与△BCD是兄弟三角形,②如图2.⊙O中.点D是弧BC的中点.则△ABD与△ACD是兄弟三角形,(1)对于上述两个判断.下来说法正确的是BA� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．定义：两个三角形有两组对应边和一对对应角分别对应相等的两个三角形称为兄弟三角形．显然，兄弟三角形不一定是全等三角形（这里可能是边角边，也可能是边边角）
①如图1，△ABC中，CA=CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD是兄弟三角形；
②如图2，⊙O中，点D是弧BC的中点，则△ABD与△ACD是兄弟三角形；
（1）对于上述两个判断，下来说法正确的是B
A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②错误 D．①错误②正确
（2）如图3，以点A（3，3）为圆心，OA为半径的圆，△OBC是圆A的内接三角形，点B（6，0），∠COB=30°，
①求∠C的度数和OC的长；
②若点D在⊙A上，并使得△OCD与△OBC是兄弟三角形时，求由O、B、C、D四点所围的四边形的面积．

分析（1）根据兄弟三角形的定义，分析出①，②中构成兄弟三角形的条件，得出结论；
（2）①利用A坐标，得△AOB为等腰直角三角形，∠OAB=90°，由圆周角定理得∠OCB=45°；过点B作BE⊥OC于点E，∠COB=30°，∠OCB=45°，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得OE，BE的长，求的OC；
②根据兄弟三角形的定义，分类讨论得D点的位置，利用三角形面积求四边形的面积．

解答解：（1）①∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵CD=CD，②
∴△ACD与△BCD是兄弟三角形，
故①正确；
②∵点D是弧BC的中点，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ABD与△ACD是兄弟三角形，
故②正确；
故选B．

（2）①连接OA，OB，
∵AO=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵点A（3，3），
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=45°；
过点B作BE⊥OC于点E，
∵∠COB=30°，∠OCB=45°，OB=6，
∴BE=CE=3，
则OE=3$\sqrt{3}$，
故OC=3$\sqrt{3}$+3；

②当OD₁=BC，CO=CO，∠COD₁=∠OCB=45°，则△OCD₁与△OBC是兄弟三角形，
可得BD₁=3$\sqrt{3}$-3，
故四边形OD₁BC的面积为：$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-3+3$\sqrt{3}$+3）×3=9$\sqrt{3}$；
当OD₂=BC，CO=CO，∠OCD₂=∠COB=30°，则△OCD₂与△OBC是兄弟三角形，
设OD₂与y轴交与点M，
∵∠OCD₂=∠COB=30°，
∴CD₂∥OB，
∵CD⊥OB，CD∥y轴，
∴四边形OMCD为矩形，
在Rt△OMD₂与Rt△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=CD}\\{{OD}_{2}=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMD₂≌Rt△CDB，
∴Rt△OMD₂与Rt△CDB面积相等，
∴四边形OD₂CB的面积等于矩形OMCD的面积，
∵OC=3$\sqrt{3}$+3，∠COB=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3），OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}（3\sqrt{3}+3）$，
∴矩形OMCD的面积：$\frac{1}{2}（3\sqrt{3}+3）×\frac{\sqrt{3}}{2}（3\sqrt{3}+3）$=9$\sqrt{3}$+$\frac{27}{2}$
故四边形OD₂CB的面积为：9$\sqrt{3}$+$\frac{27}{2}$；
当CD₃=BC，CO=CO，∠OCD₃=∠COB=30°，则△OCD₃与△OBC是兄弟三角形，
故四边形OD₃CB的面积等于四边形OD₂CB的面积为：9$\sqrt{3}$+$\frac{27}{2}$；
当CD₄=BO，CO=CO，∠COD₄=∠OCB=45°，则△OCD₄与△OBC是兄弟三角形，
过D₄作OC的垂线垂足为N，
∵∠COD₄=∠OCB=45°，
由四点共圆∠OCD₄=60°，
∴ND₄=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$，
∴△OCD₄面积为：$\frac{1}{2}×（3\sqrt{3}+3）×3\sqrt{3}$=$\frac{27}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
△OCB面积为：$\frac{1}{2}×$6×$\frac{1}{2}×（3\sqrt{3}+3）$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$+\frac{9}{2}$，
故四边形OD₄CB的面积为：$\frac{27}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}$+$\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}$=9$\sqrt{3}$+18；
当CD₅=BO，CO=CO，∠OCD₅=∠OCB=45°，则△OCD₅与△OBC是兄弟三角形，
故四边形OD₅CB的面积等于四边形OD₄CB的面积为：9$\sqrt{3}$+18；
故由O、B、C、D四点所围的四边形的面积为：9$\sqrt{3}$，9$\sqrt{3}$+$\frac{27}{2}$或9$\sqrt{3}$+18．

点评本题主要考查了含30°直角三角形和等腰直角三角形性质，利用分类讨论和理解兄弟三角形的定义是解答此题的关键．

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