Question

6．已知，△ABC是等边三角形，点P是边AC上一点．
（1）如图1，过点P作PF∥BC，交AB于点F，图中有2个等边三角形．
（2）如图2，点P 在AC上运动（不与A，C重合），点Q是CB延长线上一点，且BQ=AP，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，试说明：在点P运动的过程中，线段ED的长是定值（即DE=$\frac{1}{2}$AB）
（3）若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形，CA=CB”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是等边三角形，PF∥BC，得出△AFP、△ABC是等边三角形即可；
（2）作PF∥BC交AB于F，先判定△AFP为等边三角形，再根据三线合一，得到AE=EF，然后判定△QBD≌△PFD（AAS），得到FD=DB，进而得到DE=$\frac{1}{2}$AB；
（3）作QH⊥AB于H，先判定△APE≌△BQH（AAS），得到AE=BH，QH=PE，再判定△PED≌△QHD（AAS），得到DE=DH，进而得到（2）中的结论还成立．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PF∥BC，
∴△AFP、△ABC是等边三角形，
故答案为：2；

（2）线段ED的长是定值（即DE=$\frac{1}{2}$AB），理由如下：
如图2，作PF∥BC交AB于F，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ABC=60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠ABC=60°，
∴△AFP为等边三角形，
∴PF=PA，
又∵PE⊥AB，
∴AE=EF，
∵QB=PA，PF=PA，
∴BQ=PF，
∵∠DBQ=180°-∠ABC=120°，
∠DFP=180°-∠AFP=120°，
∴∠DBQ=∠DFP，
在△QBD和△PFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBQ=∠DFP}\\{∠QDB=∠FDP}\\{BQ=PF}\end{array}\right.$，
∴△QBD≌△PFD（AAS），
∴FD=DB，
∴ED=EF+FD=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$FD=$\frac{1}{2}$（AF+FD）=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如图3，（2）中的结论还成立．
理由：如图3，作QH⊥AB于H，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC=∠QBH，
在△APE与△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QBH}\\{∠AEP=∠H}\\{PA=QB}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQH（AAS），
∴AE=BH，QH=PE，
在△PED与△QHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QDH=∠EDP}\\{∠QHD=∠PED}\\{QH=EP}\end{array}\right.$，
∴△PED≌△QHD（AAS），
∴DE=DH，
∴DE=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$（EB+BH）=$\frac{1}{2}$（EB+AE）=$\frac{1}{2}$AB．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用，本题解法多样，作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．