Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，E是AB上一点，连接CE，现将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处．
（1）当点P在CD上时，BE=12；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是0＜BE＜12．
（2）当点E与点A重合时，求证：PD∥AC；
（3）是否存在这样的情况，∠B向右上方翻折后，△APD为等腰三角形？如果不存在，请说明理由，如果存在，求此时BE的长．

Answer 1

分析 解：（1）由折叠的性质得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠PAC=∠DCA，设AP与CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根据平行线的判定定理得到结论；
（3）①如图3，PA=PD，过P作MN∥AB交AD于M，交BC于N根据矩形的性质得到PM⊥AD，PN⊥BC，AM=MD=NC=6解直角三角形得到PN=6$\sqrt{3}$，过P作PF⊥AB于F，根据直角三角形的性质得到BF=NP=6$\sqrt{3}$于是得到结论；②如图4，过P作FM∥AD交AB于F，交CD于M，由勾股定理得到PM=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，得到PF=12-4$\sqrt{5}$；根据勾股定理得到方程求得BE=18-6$\sqrt{5}$，；③如图5，连接AC，过P作PN⊥AC交AC于M．交AB于N，过E作EF⊥PN于F根据勾股定理得到AC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20根据相似三角形的性质得到AN=$\frac{25}{2}$，得到BN=AB-AN=16-$\frac{25}{2}$=$\frac{7}{2}$，设BE=EP=x，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）当点P在CD上时，如图1，
∵将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=12，
当点P在矩形内部时，BE的取值范围是0＜BE＜12；
故答案为：12，0＜BE＜12；

（2）当点E与点A重合时，
在△ADC与△CPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CD}\\{∠ADC=∠APC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
设AP与CD相交于O，则OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD，
∴PD∥AC，

（3）存在，①如图3，PA=PD，
过P作MN∥AB交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是矩形，AB=16，AD=12，
∴PM⊥AD，PN⊥BC，AM=MD=NC=6，
∵PC=BC=12，∠B=∠EPC=90°，
∴∠NPC=30°，∠EPN=60°，
∴PN=6$\sqrt{3}$，
过P作PF⊥AB于F，
则∠FPE=30°，PF=6，BF=NP=6$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BF-EF=4$\sqrt{3}$；
②如图4，过P作FM∥AD交AB于F，交CD于M，
∴PF⊥AB，PM⊥CD，
∵AD=PD=PC=12，CD=16，
∴DM=CM=BF=8，
∴PM=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PF=12-4$\sqrt{5}$；设BE=EP=x，
则（8-x）²+（12-4$\sqrt{5}$）²=x²，
∴x=18-6$\sqrt{5}$，即BE=18-6$\sqrt{5}$；
③如图5，AP=AD，连接AC，过P作PN⊥AC交AC于M．交AB于N，过E作EF⊥PN于F，
∵AB=16，BC=AP=AD=12，
∴AC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20，
∴AM=MC=10，∠PCM+∠CPM=90°，
由∠EPC=90°得∠EPF+∠CPM=90°，
∴∠EPF=∠PCM，sin∠EPF=sin∠PCM=$\frac{\sqrt{1{2}^{2}-1{0}^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$，
∵MN⊥AC，
∴△ANM∽△ACB
，∴$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
∴AN=$\frac{25}{2}$，
∴BN=AB-AN=16-$\frac{25}{2}$=$\frac{7}{2}$，
设BE=EP=x，则EN=x-$\frac{7}{2}$，EF=EP•sin∠EPF=$\frac{\sqrt{11}x}{6}$，
∵EF⊥PF，AM⊥PF，
∴∠NEF=∠BAC，
∴cos∠NEF=$\frac{EF}{EN}$=cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{11}x}{6}}{x-\frac{7}{2}}$=$\frac{16}{20}$，
∴x=$\frac{2016+420\sqrt{11}}{301}$，
∴BE=$\frac{2016+420\sqrt{11}}{301}$．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．