Question

13．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
（1）求证：AE平分∠CAB；
（2）试探求图中∠1与∠C的数量关系；若AE=EC，求∠C的大小．

Answer 1

分析 （1）连接OE，则OE⊥BC，推出OE∥AB，推出∠1=∠OEA=∠BAE，即可得出答案；
（2）求出∠C+∠EOC=90°和∠EOC=2∠1，即可得出∠1与∠C的数量关系，若AE=EC，则∠1=∠C，易求出∠C=30°．

解答 解：（1）连接OE，
∵⊙O与BC相切于E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠1=∠OEA，
∴∠1=∠BAE，
即AE平分∠CAB．
（2）2∠1+∠C=90°，
理由是：∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠EOC=∠1+∠OEA，
∵∠1=∠OEA，
∴∠EOC=2∠1，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠EOC+∠C=90°，
∴2∠1+∠C=90°．
∵AE=EC，
∴∠1=∠C，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，平行线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．