Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=3，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有            及           ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形。

Answer 1

解：（1）始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；．………（2分）
（2）证得△AGC∽△HAB，．              ………………………（4分）
∴AC：HB=GC：AB，即3：y=x：3，
∴y=                              ………………………（5分）
答：y关于x的函数关系式为y=
（3）∵∠GAH=45°，分三种情况讨论：
第一种当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图（1）：可得CG=x=．……（7分）
第二种当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时，如图（2）：可得CG=3 ……………（9分）
第三种当CG=BC时，注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，此时B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，所以△AGH为等腰三角形，所以CG=
答：当x为=、或3时，△AGH是等腰三角形．．………（10分）
解析:
（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：3：y=x：3即可．
（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜1/2BC时，当CG=1/2BC时，当CG＞1/2BC时分别得出即可