Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P，Q分别从A，B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）几秒后以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，

∵S△PBQ= BPBQ，即 （6﹣t）×2t=8，即t2+6t+8=0，解得t1=2，t2=4．

∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2

（2）解：设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP=x，BP=6﹣x，BQ=2x，

② 若△BPQ∽△BAC，则 ，即 = ，解得x=3；

②若△BPQ∽△BCA，则 = ，即 = ，解得x=1.2．

综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP=x，BP=6﹣x，BQ=2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定，需要了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能得出正确答案．