Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=$\frac{5}{2}$，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．
方法2、先利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．

解答 解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB=$\sqrt{P{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴PA=AB-PB=5-4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3-x，
在Rt△PAQ中，（3-x）²=x²+1²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴AQ=$\frac{4}{3}$．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$QC，PM=$\frac{1}{2}$QC，
∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDF=∠PME}\\{∠DFM=∠MEP}\\{DM=PM}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{5}{2}$，
∴ME=$\frac{5}{2}$，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．

方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM=CM，
∴∠DMQ=2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP=CM，
∴∠PMQ=2∠PCQ，
∵∠DMP=90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，
∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°-45°=45°，
∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，
∵∠CPQ=90°，
∴∠APQ=180°-90°-45°=45°，
∴∠AQP=90°-45°=45°=∠APQ，
∴AQ=AP=2．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．