Question

如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；
（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．
解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；
∴AF=FD，即F是AD的中点；
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线；
∴EF∥BC；

（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；
∴S_△AEF：S_△ABD=（AE：AB）²=1：4，
∴S_△ABD=4S_△AEF=6，
∴S_△AEF=1.5．
∴S_{四边形BDFE}=S_△ABD-S_△AEF=6-1.5=4.5．
点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．