【题目】已知,如图,△ABC中,∠C=90°,E为BC边中点.
(1)尺规作图:以AC为直径,作⊙O,交AB于点D(保留作图痕迹,不需写作法).
(2)连结DE,求证:DE为⊙O的切线;
(3)若AC=5,DE=,求BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BD=.
【解析】
(1)根据要求作图即可得;
(2)连结OD,CD,证DE=EC=BE得∠1=∠2,再证∠3=∠4得∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90°,据此可得OD⊥DE,从而得证;
(3)证Rt△BDC∽Rt△BCA得=,代入计算可得.
解:(1)如图1,
(2)证明:如图2,连结OD,CD,
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∵E为BC边中点,
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线,
∴DE=EC=BE,
∴∠1=∠2,
∵OC=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线;
(3)∵E为BC边中点,
∴BC=2DE=,
∵AC=5,
∴AB=,
∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△BDC∽Rt△BCA,
∴=,即=,
∴BD=.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线上有动点E,连结DE,边BC上有一定点F,连接EF,已知AB=3cm,AD=4cm,设A,E两点间的距离为cm,D,E两点间的距离为cm,E,F两点间的距离为cm.
小胜根据学习函数的经验,分别对函数, 随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小胜的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到x与y的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
/cm | 4.00 | 3.26 | 2.68 | _______ | 2.53 | 3.00 |
/cm | 4.50 | 3.51 | 2.51 | 1.53 | 0.62 | 0.65 |
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点,并画出函数的图像:
(3)结合函数图像,解决问题:当DE>EF时,AE的长度范围约为_________________cm.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A、B、C均在格点上.
(1)∠ACB的大小为 ;
(2)在如图所示的网格中以A为中心,取旋转角等于∠BAC,把△ABC逆时针旋转,请用无刻度的直尺,画出旋转后的△AB'C',保留作图痕迹,不要求证明;
(3)点P是BC边上任意一点,在(2)的旋转过程中,点P的对应点为P',当线段CP'最短时,CP'的长度为 .
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【题目】甲、乙两车从地出发,匀速驶向地,甲车以的速度行驶后,乙车才沿相同路线行驶,乙车先到达地并停留后,再以原速沿原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是( )
A.乙车的速度是B.
C.点的坐标是D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,点,点为中点,点与点关于轴对称.
(1)点的坐标为___________;
(2)连结,求的正切值;
(3)抛物线的对称轴为直线,在抛物线上是否存在点(、不重合),使与全等?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数=(≠0)图象如图所示,下列结论:①>0;②=0;③当≠1时,>;④>0;⑤若=,且≠,则=2.其中正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ②⑤ D. ②③⑤
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【题目】如图1,△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动,点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示,有下列结论:①v=1;②sinB=;③图象C2段的函数表达式为y=﹣x2+x;④△APQ面积的最大值为8,其中正确有( )
A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④
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【题目】某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级 | 频数(人) | 频率 |
优秀 | 15 | 0.3 |
良好 | ||
及格 | ||
不及格 | 5 |
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 人,成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(2)被测试男生的总人数为 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(3)若该校八年级共有180名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.
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【题目】如图在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点p为边AB上的一点,CPB=60°,沿CP折叠正方形后,点B落在平面内B’处,B’的坐标为( )
A.(2, 2)B.(, 2-2)C.(2, 4-2)D.(, 4-2)
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