Question

如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于O点，过点O作DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．

Answer 1

解：∵O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，
∴∠OBD=∠BOD，∠OCE=∠COE，
∴OD=BD，OE=CE，
∴DE=OD+OE=BD+CE，即DE=BD+CE；
∴ADE的周长=AD+DE+AE=（AD+BD）+（CE+AE）=AB+AC=15，
∴△ABC的周长=（AB+AC）+BC=15+7=22．
分析：根据角平分线的定义可得∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，然后求出∠OBD=∠BOD，∠OCE=∠COE，再根据等角对等边可得OD=BD，OE=CE，故可得出△ADE的周长=AB+AC，由此即可得出结论．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．