Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y= 的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m ， 0）．其中m>0．

（1）四边形ABCD的是 ． (填写四边形ABCD的形状)
（2）当点A的坐标为（n,3）时，四边形ABCD是矩形，求mn的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）平行四边形
（2）

解：因为A（n,3）,且A在反比例函数y=，

则n=1,A (1,3).

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴OB=OA=，

则m=.

,∴mn=.

（3）

不能.因为当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD.

∵BD在x轴上，

∴AC在y轴上，

而反比例函数y=与y轴没有交点，

则随着k与m的变化，四边形ABCD不能成为菱形.

【解析】（1）由中心对称可知OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形；
（2）可求出n的值；根据矩形的性质可得OA=OB，则可求出m；
（3）根据菱形的对角线互相垂直去判断.
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的判定和菱形的性质，需要了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能得出正确答案．