Question

 (1)动手操作：

如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为        。

（2）观察发现：

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（3）实践与运用：

将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④）,求∠MNF的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）同意，通过证明AE=AF，即△AEF为等腰三角形．（3）∠MNF=60°

【解析】

试题分析：（1）如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，根据折叠的特征，，，所以，所以；，在三角形EFB中，，的度数===

（2）同意．                                  

如图，设AD与EF交于点G．

由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．

由折叠知，∠AGE=∠ DGE=90°，

所以∠AGE=∠AGF=90°，    

所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，

即△AEF为等腰三角形．      

（3）过N作NH⊥AD于H

设

由折叠知， ① 

 

    ……8分

∴△MPF为等边三角形

∴∠MFE=30°，∴∠MFN=60°，

又∵MN=MF=  

∴△MNF为等边三角形   

∴∠MNF=60°， 

考点：折叠，等腰三角形，等边三角形，勾股定理

点评：本题考查折叠，等腰三角形，等边三角形，勾股定理，解答本题的关键是掌握折叠的特征，熟悉等腰三角形的性质，等边三角形的性质，会判定三角形为等边，掌握勾股定理