Question

15．已知直线y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{1}{n+1}$（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4032}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、S_n，就发现规律：Sn=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n（n+1）}$，然后求其和即可求得答案．注意$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：∵当n=1时，直线为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{1}{2}$），（1，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
当n=2时，直线为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{2}$，0），
∴S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×（2+1）}$；
当n=3时，直线为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{1}{4}$），（$\frac{1}{3}$，0），
∴S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3（3+1）}$；
…，
Sn=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{2015}{2×2016}$=$\frac{2015}{4032}$．
故答案为$\frac{2015}{4032}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．