Question

6．如图，A、B为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的两点，A、B两点坐标分别为（m，5-m）、（n，5-n）（m＜n），连接AB并延长交x轴于点C．
（1）求m+n的值；
（2）若B为AC的中点，求k的值；
（3）过B点作OA的平行线交x轴于（x₀，0），若m为整数，求x₀值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例系数k的几何意义得出k=m（5-m）=n（5-n），整理得5（m-n）=（m-n）（m+n），即可求得m+n=5；
（2）根据题意得出5-m=2（5-n），从而求得m=2n-5，得出A（2n-5，10-2n），根据反比例系数k的几何意义得出k=（2n-5）（10-2n）=n（5-n），整理得，3n²-25n+50=0，解方程即可求得n的值，得出B的坐标，即可求得k的值；
（3）根据三角形相似的性质得出方程，解方程求得即可．

解答 解：（1）∵A、B两点坐标分别为（m，5-m）、（n，5-n）（m＜n），
∴k=m（5-m）=n（5-n），
∴5m-m²=5n-n²，
∴5（m-n）=（m-n）（m+n），
∴m+n=5；

（2）∵B为AC的中点，
∴5-m=2（5-n），
∴m=2n-5，
∴A（2n-5，10-2n），
∴k=（2n-5）（10-2n）=n（5-n），
整理得，3n²-25n+50=0，
解得n₁=$\frac{10}{3}$，n₂=5（舍去），
∴B（$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∴k=$\frac{10}{3}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{50}{9}$；

（3）由m＜n和（1）的结论，可知：0＜m＜$\frac{5}{2}$，
又因为m为整数，所以m=1或m=2，
当m=1时，则n=4，
∴A（1，4），B（4，1），
∵BD∥OA，
∴∠AOE=∠BDF，
作AE⊥OC于E，作BF⊥OC于F，
∴△AOE∽△BDF，
∴$\frac{1}{4-{x}_{0}}$=$\frac{4}{1}$，
解得x₀=$\frac{15}{4}$；
当m=2时，则n=3，
∴A（2，3），B（3，2），
∵△AOE∽△BDF，
∴$\frac{2}{3-{x}_{0}}$=$\frac{3}{2}$，
解得x₀=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，反比例相似k的几何意义上解题的关键．