Question

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD。
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称
∴B（-1，0）
∵y=x+b（b为常数）过点B（-1.，0）
∴-1+b=0，b=1
在直线中y=x+1令y=4，得x=3，
∴D（3，4）；
（2）若△POD为等腰三角形，有以下三种情况：
①若OP=OD=5，则P₁（5，0），
②若DO=DP，则点P和点O关于直线x=3对称，得P₂（6，0）
③若OP=DP，设此时P（m，0），则由勾股定理易得m²=（m-3）²+4²
解得m=，则P₃（，0） 
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P₁（5，0），P₂（6，0），P₃（，0）。