Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）直接写出A、B、C、D的坐标：A

（1，0）

，B

（3，0）

，C

（0，3）

，D

（2，-1）

；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标，把抛物线解析式整理成顶点式形式，即可得到点D的坐标；
（2）根据点B、C的坐标利用勾股定理求出BC的长度，然后过点A作AE⊥BC于点E，设对称轴与x轴相交于点F，然后求出AE、AF的长度以及CE的长度，可以证明△AEC与△AFP相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出PF的长度，再分点P在x轴的上方与下方两种情况写出点P的坐标；
（3）方法一：找出点A关于y轴的对称点A′，根据轴对称性可知∠OCA′=∠OCA，然后利用勾股定理求出A′D、A′C、CD的长度，再根据勾股定理逆定理证明△A′DC是等腰直角三角形，从而得解；
方法二：连接BD，根据点B、C、D的坐标可得∠CBD=90°，然后求出△CBD与△COA相似，根据相似三角形对应角相等可得∠BCD=∠OCA，从而得解．

解答：解：（1）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为C（0，3），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点为D（2，-1）；

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=

32+32

=3

2

，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，过点A作AE⊥BC，
∵∠APD=∠ACB，∠AEC=∠AFP=90°，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，
又∵A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为x=2，
∴AF=

1

2

AB=1，
AE=BE=

2

，
CE=BC-BE=3

2

-

2

=2

2

，
∴

2

1

=

2 2

PF

，
解得PF=2，
当点P在x轴上方时，点P的坐标为（2，2），
当点P在x轴下方时，点P的坐标为（2，-2），
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；

（3）方法一：如图，作点A（1，0）关于y轴的对称点A′（-1，0），
∴∠OCA′=∠OCA，
∴A′C=

12+32

=

10

，
A′D=

12+32

=

10

，
CD=

(1+3)2+22

=

20

，
∴A′C²+A′D²=CD²，
∴△A'DC是等腰直角三角形，
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°；
方法二：如图，连接BD，∵B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
∴∠CBO=∠OBD=45°，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠COA，
又∵

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

BD

OA

=

2

1

=

2

，
∴

BC

OC

=

BD

OA

，
∴△CBD∽△COA，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=45°．

点评：本题是对二次函数的综合考查，与坐标轴的交点坐标的求解，顶点坐标的求解，以及二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不是很大．