Question

（2013•宜宾）如图，抛物线y₁=x²-1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y₂，两条抛物线相交于点C．
（1）请直接写出抛物线y₂的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y₂上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；
（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解；
（3）先求出直线OC的解析式为y=

3

2

x，设与OC平行的直线y=

3

2

x+b，与抛物线y₂联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．

解答：解：（1）抛物线y₁=x²-1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，-1），
所以，抛物线y₂的解析式为y₂=（x-4）²-1；

（2）x=0时，y=-1，
y=0时，x²-1=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以，点A（1，0），B（0，-1），
∴∠OBA=45°，
联立

y=x2-1 y=(x-4)2-1

，
解得

x=2 y=3

，
∴点C的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴点P在点A的左边时，坐标为（-1，0），
在点A的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P的坐标为（-1，0）或（5，0）；

（3）存在．
∵点C（2，3），
∴直线OC的解析式为y=

3

2

x，
设与OC平行的直线y=

3

2

x+b，
联立

y= 3 2 x+b y=(x-4)2-1

，
消掉y得，2x²-19x+30-2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时x₁=x₂=

1

2

×（-

-19

2

）=

19

4

，
此时y=（

19

4

-4）²-1=-

7

16

，
∴存在第四象限的点Q（

19

4

，-

7

16

），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时△=19²-4×2×（30-2b）=0，
解得b=-

121

16

，
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=

3

2

x-

121

16

，
令y=0，则

3

2

x-

121

16

=0，解得x=

121

24

，
设直线与x轴的交点为E，则E（

121

24

，0），
过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=

22+32

=

13

，
则sin∠COD=

h

CO

=

3

13

，
解得h_最大=

3

13

×

121

24

=

121 13

104

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点．