Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为一边，在△ABC的外部作△BCE，使△BCE是等腰直角三角形，求线段AE的长．

Answer 1

分析：分情况讨论，①以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形EBC；②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形BCE；③以BC为斜边，向外作等腰直角三角形BCE．分别画图，并求出AE．

解答：解：①以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形EBC，

∵∠ECB=90°，且CE=BC，
∴AE=AC+CE=2+2=4；
②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形BCE，

连接AE，过点E作DE⊥AB，交AB的延长线于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠DBE=45°，
又∵DE⊥BE，
∴∠EDB=90°，
∴BD=DE=2×

2

2

=

2

，
在Rt△BAC中，AB=

22+22

=2

2

，
∴AE=

AD2+DE2

=

(2 2 + 2 )2+( 2 )2

=2

5

；
③以BC为斜边，向外作等腰直角三角形BCE，

∵∠BEC=90，BE=CE，且BC=2，
∴BE=CE=BCsin45°=2×

2

2

=

2

，
又∵△ABC、△BEC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°，
又∵在Rt△ABC中，AB=

22+22

=2

2

，
∴AE=

AB2+BE2

=

10

．
故AE的长等于4或2

5

或

10

．

点评：考查了勾股定理和等腰直角三角形．分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．