Question

抛物线的对称轴是x=1，交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴于C（0，

3

2

）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上在x轴上方的一个动点，求△PAB面积最大值．

Answer 1

分析：（1）因为此题给出了二次函数与x轴的两个交点坐标，所以采用两点式求解较简单；
（2）根据题意可知线段AB的长为4，所以只要求得点P的纵坐标最大即可，即是此抛物线的顶点即是点P的位置，求解即可．

解答：解：（1）设所求解析式y=a（x+1）（x-3），
将点（0，

3

2

）代入
得，a=-

1

2

，
y=-

1

2

（x+1）（x-3）=-

1

2

x²+x+

3

2

（2）设点P的坐标为（x，-

1

2

x²+x+

3

2

）
∴S_△PAB=

1

2

×4×（-

1

2

x²+x+

3

2

）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴当x=1时，△PAB面积最大，最大值为4．

点评：此题考查了二次函数解析式的求解，即考查了待定系数法；此题还考查了二次函数在求最值中的应用．