Question

如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为______s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

Answer 1

（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，

∠EAD=∠DCF ∠AED=∠DFC AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）；
②四边形AFCE为直角梯形时，
（I）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．
（II）若AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴F为BC中点，即BF=3，
∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；
故答案为：6；1.5．