Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．
求证：∠DEF=45°．

Answer 1

分析：连接BD，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=∠CDB=90°，∠EBD=∠DCF=45°，BD=AD=CD，再根据等角的余角相等得到∠EDB=∠CDF，然后根据全等三角形的判定方法得到△EBD≌△FCD，则DE=DF，而∠EDF=90°，即可得到∠DEF=45°．

解答：证明：连接BD，如图，
∵在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴∠ADB=∠CDB=90°，∠EBD=∠DCF=45°，BD=AD=CD，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDB+∠BDF=∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△EBD和△FCD中

∠EBD=∠C BD=DC ∠EDB=∠CDF

，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且它们所夹的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．