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10.如图,四边形EFGH与四边形ABCD均为矩形,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,且EF=3HE,AB=2BC,则tan∠AHE=(  )
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{2}{7}$D.$\frac{3}{10}$

分析 根据四边形ABCD是矩形,四边形EFGH是矩形得到∠A=∠B=∠C=90°,∠HEF=90°,HE=GF,证得△AEH≌△CGF,于是得到CF=AH,由于△AEH∽△BEF,根据相似得出$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{1}{3}$,求出BF=3AE,CF=AH=$\frac{1}{3}$BE,根据AB=2BC求出3AE+$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$(AE+BE),求出BE=15AE,AH=5AE,即可得出答案.

解答 解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=90°,
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠HEF=90°,HE=GF,
∴∠AEH+∠BEF=∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠AEH=∠BFE,
同理∠AEH=∠FGC,
在△AEH与△CGF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=90°}\\{∠AEH=∠CGF}\\{EH=GF}\end{array}\right.$,
∴△AEH≌△CGF,
∴CF=AH,
∵∠AEH=∠BFE,∠A=∠B,
∴△AEH∽△BEF,
∵EF=3HE,
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{1}{3}$,
∴BF=3AE,CF=AH=$\frac{1}{3}$BE,
∴3AE+$\frac{1}{3}$BE=BF+CF=BC,
∵AB=2BC,
∴AE=∵AB=2BC,
∴3AE+$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$(AE+BE),
即BE=15AE,
∵$\frac{AH}{BE}$=$\frac{1}{3}$,
∴AH=5AE,
∴tan∠AHE=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{1}{5}$,
故选A.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,熟练运用定理进行推理是解题的关键.

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