Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为

2

5

5

（即cosC=

2

5

5

），求边AC上中线的长度．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：BD为△ABC的中线，AE⊥BC于E，分类讨论：如图1，作DF⊥BC于F，∠ABC=45°，在Rt△AEC中，利用余弦的定义得到cosC=

EC

AC

=

2

5

，则设EC=2x，AC=

5

x，根据勾股定理计算出AE=x，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质得BE=AE=x，则BF=2x，利用点D为AC的中点得到DF=

1

2

AE=

1

2

x，然后根据勾股定理计算得BD=

17

2

x，由AC=

5

x=a得x=

5

5

a，于是BD=

85

10

a；如图2，∠ABE=45°，设EC=2x，AC=

5

x，同样得到AE=BE=x，则得到B点为CE的中点，BD为△ACE的中位线，所以BD=

1

2

AE=

1

2

x，在Rt△CBD中，根据勾股定理计算出BD=

1

2

x，则BD=

5

10

a．

解答：解：AC=a，BD为△ABC的中线，AE⊥BC于E，
如图1，作DF⊥BC于F，∠ABC=45°，cosC=

2 5

5

=

2

5

，
在Rt△AEC中，cosC=

EC

AC

=

2

5

，设EC=2x，AC=

5

x，
∴AE=

AC2-EC2

=x，
在Rt△ABE中，BE=AE=x，
∴BF=2x，
∵点D为AC的中点，
∴DF=

1

2

AE=

1

2

x，
在Rt△BFD中，BD=

BF2+DF2

=

(2x)2+( 1 2 x)2

=

17

2

x，
∵AC=

5

x=a，
∴x=

5

5

a，
∴BD=

5

5

×

17

2

a=

85

10

a；
如图2，∠ABE=45°，设EC=2x，AC=

5

x，同样得到AE=BE=x，
∴B点为CE的中点，
而点D为AC的中点，
∴BD为△ACE的中位线，
∴BD=

1

2

AE=

1

2

x，
在Rt△CBD中，CD=

1

2

AC=

5

2

x，CB=x，
BD=

CD2-CB2

=

1

2

x，
∴BD=

5

5

a×

1

2

=

5

10

a，
∴边AC上中线的长度为

85

10

a或

5

10

a．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．