Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．

(1) 若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；

(2) 在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）P1（--1，0），P2（0，0）P3（+1，0）

【解析】

（1）根据等边三角形的性质即可证明；（2）分三种情况讨论：①若点P在x轴负半轴上，②若点P在x轴上，③若点P在x轴正半轴上，分别进行求解即可.

（1）证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD是中线

∴∠DBC=30°

∵CP=CD

∴∠CPD=∠CDP

又∵∠ACB=60°

∴∠CPD=30°

∴∠CPD=∠DBC

∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．

(2) 解：在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形

①若点P在x轴负半轴上，且BP=BD

∵BD=∴BP=

∴OP=+1

∴点P1（--1，0）

②若点P在x轴上，且BP=PD

∵∠PBD=∠PDB=30°

∴∠DPC=60°又∠PCD=60°

∴PC=DC=1

而OC=1

∴OP=0

∴点P2（0，0）

③若点P在x轴正半轴上，且BP=BD

∴BP=而OB=1

∴OP=+1

∴点P3（+1，0）