Question

已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．

（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；
（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；
（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．

Answer 1

（1）
（2）
（3）解析:
解（1）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为.  4分
（2）如图②，折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即 2分
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为. 1分
（3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得.   1分 
在中，
设，则.
由（2）的结论，得，
解得.
点的坐标为. 2分