Question

6、已知α、β是方程x²-x-1=0的两个根，则α⁴+3β的值为

5

．

Answer 1

分析：先由α、β是方程x²-x-1=0的两个根可知，α²=α+1，β²=β+1，α+β=1，αβ=-1，再设A=α⁴+3β，B=β⁴+3α，由A+B=10及A-B=0即可求出A的值．

解答：解：∵α、β是方程x²-x-1=0的两个根，
∴α²=α+1，β²=β+1，α+β=1，αβ=-1，
设A=α⁴+3β，B=β⁴+3α，
∴A+B=α⁴+3β+β⁴+3α
=（1+α）²+（1+β）²+3（α+β）
=1+2α+α²+1+2β+β²+3
=5+2（α+β）+1+α+1+β
=10；
A-B=α⁴+3β-β⁴-3α
=（1+α）²+3β-（1+β）²-3α
=1+α²+2α+3β-1--β²-2β-3α
=α²+2（α+β）+β-β²-2（β+α）-α
=α²+2+β-β²-2-α
=α²-β²+β-α
=1+α-1-β+β-α
=0；
由A+B=10及A-B=0得，A=5．
故答案为：5．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，通过设参数的方法可使问题简单化，是一种经常使用的解题方法．