Question

13．在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．
（1）AC=10；
（2）点P、Q分别在AB、BC边上，若PQ垂直平分斜边上的中线BD，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）连结PD、QD，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=DC=5，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10；
故答案为：10；
（2）连结PD、QD，
∵PQ垂直平分斜边上的中线BD，
∴AD=BD=DC=5，
∴∠PBD=∠PDB=∠A，
∴△ABD∽△BDP，
∴$\frac{PB}{BD}=\frac{BD}{AB}$，
∴PB=$\frac{25}{6}$，
同理∠QBD=∠QDB=∠C，
∴△BDQ∽△BCD，
∴$\frac{BQ}{BD}=\frac{BD}{BC}$，
∴BQ=$\frac{25}{8}$，
∴PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\frac{125}{24}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．