Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为_____．

Answer 1

【答案】4﹣或4+

【解析】

由折叠的性质得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，设CE＝C'E＝x，分点C'在矩形内与矩形外两种情况，如图1，在△AC'D利用勾股定理求得AC'的长，在 Rt△ABE中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可；如图2，同理1进行求解即可.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，

由折叠的性质得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，

设CE＝C'E＝x，

当△AC′D为直角三角形时，则∠AC'D＝90°，

∴∠AC'D+∠DC'E＝180°，

∴A、C'、E三点共线，

分两种情况：

①点E在线段CB上时，如图1所示：

则∠DC'E＝∠C＝90°，

∴∠AC'D＝90°，

∴AC'＝，

在Rt△ABE中，BE＝4﹣x，AE＝x+，

由勾股定理得：（4﹣x）2+32＝（x+）2，

解得：x＝4﹣，

∴CE＝4﹣；

②点E在线段CB的延长线上时，如图2所示：

则∠DC'E＝∠C＝90°，

∴AC'＝，

在Rt△ABE中，BE＝x﹣4，AE＝x﹣，

由勾股定理得：（x﹣4）2+32＝（x﹣）2，

解得：x＝4+，

∴CE＝4+；

综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4﹣或4+；

故答案为：4﹣或4+．