Question

17．如图1，抛物线y=ax²+bx-3与y轴于点，与x轴交于A、B两点，OB=3OA，∠ABC=45°
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，点M为y轴上一动点，MN与抛物线只有唯一公共点N点，点G在x轴上，∠GNM=∠OMN，求证：直线NG必过一定点，并求此定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出点A、B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）设点M坐标（0，b），直线MN解析式为y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-b=0，由题意△=0，得到b=-$\frac{{k}^{2}}{4}$，求出线段MN的中垂线与y轴的交点即可解决问题．

解答 解：（1）由题意OC=OB=3，OA=1，
∴点A坐标（-1，0），点B坐标（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图2中，平移后的抛物线解析式为y=x²，

设点M坐标（0，b），直线MN解析式为y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-b=0，由题意△=0，
∴k²+4b=0，
b=-$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∴点M坐标（0，-$\frac{{k}^{2}}{4}$），N（$\frac{k}{2}$，$\frac{{k}^{2}}{4}$），
线段MN中点G坐标为（$\frac{k}{4}$，0），
设过点G垂直MN的直线的解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+b′，把（$\frac{k}{4}$，0）代入得到b′=$\frac{1}{4}$，
∴该直线解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{1}{4}$，该直线与y轴交于点K（0，$\frac{1}{4}$），
连接KN，则有KM=KN，
∴∠KNM=∠KMO，∵∠GNM=∠OMN
∴点K在直线GN上，直线GN经过定点（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、方程组等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，求出线段MN的中垂线与y轴的交点，是解题的突破点，属于中考压轴题．