Question

已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB==10．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴=．

即=，

∴DF=t．

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S_梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10﹣t+t）•=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴=．

即=，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S_△EFD=EF•QD=×t×t=t²．

∴y=（t+48）﹣t²=﹣t²+t+48．

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，

则﹣t²+t+48=×96，

即5t²﹣8t﹣48=0，

解这个方程，得t₁=4，t₂=﹣（舍去）

过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

当t=4时，

∵△PBN∽△ABO，

∴==，即==．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ﹣MQ==．

PM=BD﹣BN﹣DQ==．

在Rt△PME中，

PE===（cm）．