Question

6．如图，直线AB与双曲线交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，与x轴的夹角α满足tanα=$\frac{3}{4}$，且OD=6，CD：CB=1：2．
（1）求点A的坐标；
（2）连接AO，并延长AO与双曲线相交于点E，求△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知求得C（-8，0），D（0，6），根据待定系数法求得直线AB的解析式，根据OD∥BF，得出$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，求得BF=12，CF=16，OF=8，即可得出B的坐标，进而求得反比例函数的解析式，然后联立方程，即可求得A的坐标；
（2）根据中心对称的性质得出E的坐标，然后根据S_△ABE=S_△AOD+S_梯形DOFB+S_梯形BEGF-S_△EOG，即可求得△ABE的面积．

解答 解：（1）tanα=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{3}{4}$，且OD=6，
∴OC=$\frac{4}{3}$OD=8，
∴C（-8，0），D（0，6），
设直线AB的解析式为y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
作BF⊥x轴于F，则OD∥BF，
∴$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{6}{BF}$=$\frac{8}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=12，CF=16，
∴OF=8，
∴B（8，12），
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴12=$\frac{k}{8}$，解得k=96，
∴y=$\frac{96}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{96}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（-16，-6）；
（2）∵点A的坐标为（-16，-6），
∴E（16，6），
∴S_△ABE=S_△AOD+S_梯形DOFB+S_梯形BEGF-S_△EOG
=$\frac{1}{2}$×6×16+$\frac{1}{2}$（6+12）×8+$\frac{1}{2}$（12+6）×（16-8）-$\frac{1}{2}$×16×6
=144．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了待定系数法求函数解析式、解直角三角形及平行线的性质，三角形的面积等，注意数形结合思想的运用．