Question

如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．
阅读理解：
在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为S，△ADF的面积S₁，△PDC的面积S₂．

解决问题：
（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S=

 

，S₁=

 

，S₂=

 

；
（2）在图②中，若AB=a，DC=b，DE=h，则

S2

S1S2

=

 

，并写出理由；
拓展应用：
如图③，?DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用 （2 ）中的结论求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）先判定四边形BCDF是平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式即可求出S，根据平行四边形对边相等先求出BF的长度，从而可以求出AF的长度，然后再利用三角形的面积公式即可求出S₁，先利用相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，然后再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把（1）中的数字换成字母，可以先求出S与S₁，然后根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，再利用三角形的面积公式表示出S₂，最后代入代数式进行计算即可；
拓展应用：把图③的△ADE与△BCF的面积合并成S₁，然后再代入（2）中的结论计算即可．

解答：解：（1）∵DC∥AB，DF∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴BF=DC=2，
∴S=DC•DE=2×3=6，
S₁=

1

2

AF•DE=

1

2

（AB-BF）•DE=

1

2

×（8-2）×3=9，
设△PDC的DC边上的高为x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴

x

x+DE

=

DC

AB

=

2

8

，
解得x=

DE

3

=1，
∴S₂=

1

2

×DC×x=

1

2

×2×1=1；

（2）根据（1）得：S=bh，S₁=

1

2

（a-b）h，
设△PDC的DC边上的高为x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴

x

x+DE

=

DC

AB

，
即

x

x+h

=

b

a

，
解得x=

bh

a-b

，
∴S₂=

1

2

DC•x=

1

2

•b•

bh

a-b

=

b2h

2(a-b)

，
∴

S2

S1S2

=

(bh)2

1 2 (a-b)h• b2h 2(a-b)

=4；

拓展应用：根据题意，△ADE与△BCF的面积合并成S₁即可符合公式，
∴S₁=3+5=8，S₂=2，
∵

S2

S1S2

=4，
∴S²=4×2×8=64，
解得S=8，
∴△PAB的面积=2+3+5+8=18．
故答案为：（1）6，9，1；（2）4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形，平行四边形的面积的求法，获取题目信息并灵活运用信息是解题的关键，本题对学生的能力要求比较高．