Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点B在A点的右侧；交y轴于（0，-3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（-3，12），在x轴上是否存在一点P，使以点P、B、C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将已知的抛物线上两点的坐标代入抛物线中进行求解即可．
（2）本题要分类进行讨论：
①当△ABD∽△PBC时，可得出关于PB、AB、BC、BD的比例关系式，可设出P点的横坐标，然后表示出PB的长，而BC，BD的长可根据B、C、D三点的坐标求得，因此根据此比例关系式即可求出P点的坐标．
②当△ABD∽△CBP时，同①
③当△ABD∽△BCP时，此时∠ABD=∠BCP，AB∥PC，显然是不成立的．

解答：解：
（1）将A（-1，0）、（0，-3）代入y=ax²-2ax+b中，
得到：a=1，b=-3
∴所求二次函数的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）易求：C（1，-4）B（3，0）
BC：y=2x-6
BD：y=-2x+6关于x轴对称
从而∠DBA=∠CBA
①若：△ABD∽△PBC则：

PB

AB

=

BC

BD

设P（k，0），则PB=3-K而BC=

2

5

，BD=

6

5

，AB=4
从而K=

5

3

，此时P（

5

3

，0）．
②若：△ABD∽△CBP则：

PB

DB

=

BC

AB

，易知：k=-12
此时P（-12，0）．
③若：△ABD∽△BCP则：∠BCP=∠ABD=∠ABC
从而：AB∥CP而P点在x轴上，故这种情况不成立．
综上所述：符合条件的P点坐标是P（

5

3

，0）或P（-12，0）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．
（2）在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解．