Question

如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC边上一点，且EF⊥AE，AF的延长线与DC的延长线交于点G，连接BE，与AF交于点H，则下列结论中不正确的是（　　）

• A．AF=CF+BC
• B．AE平分∠DAF
• C．tan∠CGF=

  3

  4

• D．BE⊥AG

Answer 1

分析：根据E为CD的中点，且EF⊥AE，利用互余关系可证△ADE∽△ECF，由相似比可知FC：CE=DE：AD=1：2，设FC=1，则CE=DE=2，AD=AB=BC=4，根据线段的长度，勾股定理，相似三角形的判定与性质，逐一判断．

解答：解：由E为CD的中点，设CE=DE=2，则AD=AB=BC=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED=90°-∠FEC=∠EFC，
又∵∠D=∠ECF=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴

AD

EC

=

DE

FC

，即

4

2

=

2

FC

，解得FC=1，
A、在Rt△ABF中，BF=BC-FC=4-1=3，AB=4，由勾股定理，得AF=5，
则CF+BC=1+4=5=AF，本选项正确；
B、在Rt△ADE，Rt△CEF中，由勾股定理，得AE=2

5

，EF=

5

，
则AE：EF=AD：DE=1：2，又∠D=∠AEF=90°，
所以，△AEF∽△ADE，∠FAE=∠DAE，即AE平分∠DAF，本选项正确；
C、∵AB∥DG，∴∠CGF=∠BAF，∴tan∠CGF=tan∠BAF=

BF

AB

=

3

4

，本选项正确；
D、∵AB≠AE，BF≠EF，∴BE与AG不垂直，本选项错误；
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，角平分线性质，锐角三角函数的定义．关键是用互余关系证明三角形相似，利用数量表示线段的长度．