Question

4．如图，在Rt△ABE中，∠A=Rt∠，AB=5，BE=13，以点B为旋转中心，将BE顺时针旋转90°至BC，过点C作CD∥AB分别交AE、BE于点D、F，则DF的长为$\frac{35}{12}$．

Answer 1

分析 先由勾股定理求出AE，再证明△FBC∽△ABE，得出比例式$\frac{BF}{AB}=\frac{BC}{AE}$，求出BF，得出EF，然后证出△DFE∽△ABE，得出对应边成比例，即可求出DF的长．

解答 解：∵∠A=90°，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵CD∥AB，
∴∠DFE=∠ABE，
∵∠DFE=∠BFC，
∴∠BFC=∠ABE，
又∵∠CBF=∠A=90°，
∴△FBC∽△ABE，
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{BC}{AE}$，
即$\frac{BF}{5}=\frac{13}{12}$，
∴BF=$\frac{65}{12}$，
∴EF=BE-BF=13-$\frac{65}{12}$=$\frac{91}{12}$，
∵CD∥AB，
∴△DFE∽△ABE，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，
即$\frac{DF}{5}=\frac{\frac{91}{12}}{13}$，
∴DF=$\frac{35}{12}$；
故答案为：$\frac{35}{12}$．

点评 本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．