Question

16．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB$＞6\sqrt{3}$．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=8，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．
（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，
（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．

解答 解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．

∵PE=PF=6，EF=6 $\sqrt{3}$，
∴FG=EG=3 $\sqrt{3}$，∠FPG=∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF．
在Rt△FPG中，sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=120°．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．

∵AC为菱形ABCD的对角线，
∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．
在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴ME=NF．
又AP=10，∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∴AM=AN=APcos30°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5 $\sqrt{3}$，
∴AE+AF=（AM+ME）+（AN-NF）=AM+AN=10 $\sqrt{3}$．
（3）如图，

当点P在EF右边时，
∵∠BAD=60°，∠EPF=120°，
∴∠BAD+∠EPF=180°，
∴点A，E，P，F四点共圆，
∴AP是此圆的直径时，AP最大，
∵PE=PF，
∴EF⊥AC时，AP最大，
∴当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，
同理：当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，
设AC与EF交于点O，
∵PE=PF，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=3 $\sqrt{3}$，
∵∠FPA=60°，
∴OP=3，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=9，
∴AP=AO+PO=12，
同理AP′=AO-OP=6，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，

点评 本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．