Question

12．已知|ab-2|与（b-1）²互为相反数，试求代数式：$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…$\frac{1}{（a+2010）（b+2010）}$的值．

Answer 1

分析 首先根据|ab-2|与（b-1）²互为相反数，可得$\left\{\begin{array}{l}{ab-2=0}\\{b-1=0}\end{array}\right.$，据此求出a、b的值各是多少；然后把求出的a、b的值代入代数式$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…$\frac{1}{（a+2010）（b+2010）}$，求出算式的值是多少即可．

解答 解：∵|ab-2|与（b-1）²互为相反数，
∴|ab-2|=0，（b-1）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab-2=0}\\{b-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…$\frac{1}{（a+2010）（b+2010）}$
=$\frac{1}{2×1}$$+\frac{1}{3×2}$$+\frac{1}{4×3}$+…+$\frac{1}{2012×2011}$
=1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}$
=1-$\frac{1}{2012}$
=$\frac{2011}{2012}$．

点评 （1）此题主要考查了代数式求值的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
（2）此题还考查了绝对值的非负性质的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出a、b的值各是多少．