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(2012•遂宁)已知:如图,直线y=mx+n与抛物线y=
1
3
x2+bx+c
交于点A(1,0)和点B,与抛物线的对称轴x=-2交于点C(-2,4),直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直.
(1)求直线y=mx+n和抛物线y=
1
3
x2+bx+c
的解析式;
(2)在直线f上是否存在点P,使⊙P与直线y=mx+n和直线x=-2都相切.若存在,求出圆心P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在线段AB上有一个动点M(不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,当MN的长为多少时,△ABN的面积最大,请求出这个最大面积.
分析:(1)利用待定系数法可以求出直线y=mx+n的解析式;在解二次函数的解析式时,可由其对称轴方程求出b的值,再代入A点的坐标可以求出c的值.
(2)此题需要从图形入手,显然在直线AB的上下方各有一个符合条件的P点,那么可以将图形进行简化(如解答部分的图示),在简化的图形中,△P1E1F≌△PEF且△PEF∽△ADF;圆的半径可由直线f和直线x=-2的距离得出(即PE、P1E1的长),AD、FD的长不难得到,那么由相似三角形即可求出PF的长,进而能求出PD、P1D的长,由此求出圆心的坐标.
(3)点B的坐标不难求出,根据直线AB和抛物线的解析式,可以先用一个未知数表达出点M、N的坐标,以MN为底,A、B点的横坐标差的绝对值为高(也可将△ABN分成两个三角形来分析),即可得到关于△ABN的面积和未知数的函数解析式,根据函数的性质求解即可.
解答:解:(1)将A(1,0)、C(-2,4)代入直线y=mx+n得:
m+n=0
-2m+n=4

解得:
m=-
4
3
n=
4
3

故直线解析式为:y=-
4
3
x+
4
3

将A(1,0)代入抛物线y=
1
3
x2+bx+c
及对称轴为直线x=-2得:
-
b
1
3
=-2
1
3
+b+c=0

解得:
b=
4
3
c=-
5
3

故抛物线解析式为:y=
1
3
x2+
4
3
x-
5
3


(2)存在.
如图1,图形简化为图2

直线f解析式:x=-5,故圆半径R=3,且F(-5,8).
易得△PEF∽△ADF,△P1E1F≌△PEF,其中PE=P1E1=R=3,AD=6,FD=8,P1F=PF.
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AF=10,由
AD
PE
=
AF
PF
得:PF=5.
∴PD=13,P1D=3.
P(-5,13)、P1(-5,3).
综上可得存在点P的坐标为(-5,13)或(-5,3).

(3)如图3:
联立直线与抛物线解析式得:
y=
1
3
x2+
4
3
x-
5
3
y=-
4
3
x+
4
3

解得交点B的坐标:(-9,
40
3
).
设点M(q,-
4
3
q+
4
3
),N(q,
1
3
q2+
4
3
q-
5
3
),
所以:MN=(-
4
3
q+
4
3
)-(
1
3
q2+
4
3
q-
5
3
)=-
1
3
q2-
8
3
q+3=-
1
3
(q+4)2+
25
3

S△ABN=S△AMN+S△BMN=
1
2
MN•AF+
1
2
MN•BE=
1
2
MN(AF+BE)=5MN=-
5
3
(q+4)2+
125
3

当q=-4时,S△ABN有最大值
125
3
;此时:MN=
25
3
点评:此题考查了函数解析式的确定、直线和圆的位置关系、相似三角形以及全等三角形的应用、三角形面积的求法等重要知识点;(2)题中,对图形进行简化能使得繁杂的题目更加直观;最后一题是二次函数综合题中考查频率比较大的一种类型题,需要牢固掌握.
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3
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A.19
B.20
C.21
D.22

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