Question

14．如图，等边三角形ABC中，点P在△ABC内部，且∠BPC=90°．若AB=7，CP=2$\sqrt{7}$，则tan∠ACP=$\frac{24-7\sqrt{3}}{49}$．

Answer 1

分析 过B作BE⊥AC于E交PC于F，由△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC=7，CE=$\frac{7}{2}$，BE=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，通过证明相似三角形得到比例式代入相关数据，求出EF的长度，即可求得结果．

解答 解：过B作BE⊥AC于E交PC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=7，
∴CE=$\frac{7}{2}$，BE=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∵∠BPC=90°，
∴PB=$\sqrt{{BC}^{2}{-PC}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵∠BPC=∠BEC=90°，∠BFP=∠EPC，
∴△PBF∽△CEF，
∴$\frac{PB}{CE}$=$\frac{PE}{EF}$=$\frac{BF}{CF}$，
设EF=x，PF=y，则BF=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-x，CF=2$\sqrt{7}$-y，
∴$\frac{\sqrt{21}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}-x}{2\sqrt{7}-y}$，
解得：x=$\frac{24-7\sqrt{3}}{14}$，
EF=$\frac{24-7\sqrt{3}}{14}$，
∴tan∠acp=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{24-7\sqrt{3}}{49}$．
故答案为；$\frac{24-7\sqrt{3}}{49}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理锐角三角函数，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．