Question

已知△ABC：（1）如图1，BO、CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，相交于O．
①如果∠ABC=50°，则∠OBC=

 

度；
②试说明∠BOC=90°+

1

2

∠A．
（2）知识扩展：如图2，若BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，相交于点P，设∠A=x°，求∠BPC度数（用含x的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）①根据角平分线的定义进行求解；②根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行证明．
（2）根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义进行证明．

解答：解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=25°；
②∵OB、OC分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∵∠A=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴∠A=180°-2（∠OBC+∠OCB），
∴∠A=180°-2（180°-∠BOC），
∴∠A=-180°+2∠BOC，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A．

（2）∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP=

1

2

∠CBM，∠BCP=

1

2

∠BCN，
∴∠CBP+∠BCP
=

1

2

∠CBM+

1

2

∠BCN
=

1

2

（∠CBM+∠BCN）
=

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=

1

2

（180°+∠A），
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）
=180°-

1

2

（180°+∠A）
=90°-

1

2

∠A
=90°-

1

2

x°．

点评：此题综合运用了三角形的内角和定理及其推论和角平分线的定义．