Question

4．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（-2，3）
（1）求这个函数的解析式，并说明当x＞0时，随着x的增大，y如何变化；
（2）若矩形ABCD关于坐标轴对称，且对角线的交点为原点O，已知点B在第三象限，求B，C，D三点的坐标；
（3）在（2）的条件下，另一个反比例函数图象经过D点，试说明这两个函数图象之间有何位置关系？

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=-6，则可确定反比例函数的性质为y=-$\frac{6}{x}$，然后根据反比例函数的性质判断当x＞0时，随着x的增大，y如何变化；
（2）利用矩形的性质，利用关于x轴、y轴对称和关于原点中心对称的点的坐标特征求B，C，D三点的坐标；
（3）利用待定系数法求出过点D的反比例函数解析式，然后根据反比例函数图象和性质判断两个函数图象的位置关系．

解答 解：（1）把A（-2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2×3=-6，
所以反比例函数的性质为y=-$\frac{6}{x}$，
当x＞0时，y随着x的增大而增大；
（2）因为矩形ABCD关于坐标轴对称，且对角线的交点为原点O，
所以点A与点C关于原点对称，则C（2，-3），
又因为点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，
所以B点坐标为（-2，-3），D点坐标为（2，3）；
（3）设过D（2，3）的反比例函数解析式为y=$\frac{a}{x}$，则a=2×3=6，
所以过点D的反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
函数y=-$\frac{6}{x}$与y=$\frac{6}{x}$关于坐标轴对称．

点评 本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．