Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题．

解答 解：（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．

（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵BC+BD+DC=20，
∴AD+DC+BC=20，
∴AC+BC=20，
∵AB=2AE=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．