Question

如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，其外接圆的半径为R．求证：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．（提示：连BO并延长交⊙O于D，连CD）

Answer 1

考点：圆周角定理,正弦定理与余弦定理

专题：证明题

分析：首先连BO并延长交⊙O于D，连接CD，由BD是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，然后由圆周角定理与锐角三角形的定义，即可得sin∠A=sin∠D=

a

2R

，继而可得

a

sinA

=2R，然后同理可得

b

sinB

=

c

sinC

=2R，继而证得结论．

解答：解：如图，连BO并延长交⊙O于D，连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠A=∠D，
∴sin∠A=sin∠D=

a

2R

，
∴

a

sinA

=2R，
同理：

b

sinB

=

c

sinC

=2R．
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．

点评：此题考查了圆周角定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．