Question

如图，AB是半圆的直径，BD是半圆的切线，C是半圆上任意一点，过C作BD的垂线，垂足为D，求证：AC是ED和AB的比例中项．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据切线的性质得出AB⊥BD，∠BAE=∠EBD，根据圆周角的性质得出∠AEB=90°，通过证得CD∥AB，根据平行弦的性质得出

AC

=

BE

，从而得出AC=BE，通过△ABE∽△BED，求得AB：BE=BE：ED，进而得出AB：AC=AC：ED．

解答：解：∵AB是半圆的直径，BD是半圆的切线，
∴AB⊥BD，∠BAE=∠EBD，∠AEB=90°
∵CD⊥BD，
∴CD∥AB，
∴

AC

=

BE

，
∴AC=BE，
∵∠BAE=∠EBD，∠AEB=∠D=90°，
∴△ABE∽△BED，
∴AB：BE=BE：ED，
∴AB：AC=AC：ED，
即AC是ED和AB的比例中项．

点评：本题考查了圆周角的性质，平行弦的性质，切线的性质等，熟练掌握和运用性质是解题的关键．